1. При медленном интернете желательно отключить проверку подключения к ArcGIS Online при старте.
2. Попробовать "сбросить" персональные установки текущего пользователя в состояние по-умолчанию.
Для этого достаточно остановить все программы ArcGIS и переименовать папку C:\Users\текущий_пользователь\AppData\Roaming\ESRI\Desktop10.X в любое другое имя.
Если после этого будет стартовать быстро - то будете искать какие настройки ArcMap тормозили загрузку.
Это могут быть настройки подключений к СУБД, проект по-умолчанию, и т.д.