Если я правильно понял тогда, у вас есть машина, на которой имеется установленный ArcGIS Server. Здесь было создано веб-приложение (web mapping application), которое, наверное, отображает какую-то карту :) теперь вы хотите, чтобы это приложение было доступно в сети Интернет по адресу www.webapp.com/WeMap.
Для этого надо, чтобы компьютер, на котором есть приложение был доступен в сети Интернет. Статический IP будет нужен также, чтобы машина могла быть доступна все время в сети Интернет под одним и тем же адресом.
http://www.dyndns.com/ здесь гляньте
Если хотите получить доступ к приложению с другой машины - то просто соедините их локальной сетью - и потом в браузере введите http://<machinename>/<webappname>